95 维状态、10 毫秒一步：
为什么我放弃了 RK4

生理引擎的状态是一个向量：心血管、呼吸、气道力学、肾、肝、内分泌、神经、免疫、胃肠、体温、电解质。写 RK4 的时候它是 95 维，现在是 100 维，结构没变。主循环固定 10 毫秒一步，也就是 100 Hz——现实过一秒，模型走一百步。

一开始我给全部状态上了四阶龙格库塔。理由很正当：通用、精度高、教科书都这么写。它在静息基线上跑得很好，好到我以为这件事已经解决了。

问题不在精度，在刚性

这 95 维里，绝大多数状态并不是自由的物理量，而是「向某个目标值一阶惯性趋近」的量。心率趋近目标心率，气道阻力趋近目标阻力，分泌率趋近由反馈算出来的分泌因子。目标值本身由别的方程给出，状态只负责跟上去。

这类方程的时间常数可以非常小。药物快速起效、病理突然触发的时候，目标值会在一步之内跳很远。显式 RK4 的稳定域是有限的，遇到小时间常数就开始振荡，再几步就发散。而发散不会礼貌地停在一个错误答案上，它先给你一个天文数字，然后变成 NaN。

更麻烦的是它时好时坏：静息时完全正常，只有在你连着推三个药、或者把严重度拉到最大演示给别人看的时候炸。这种 bug 不会让你怀疑积分器，只会让你怀疑自己。

换成指数逼近

后来我把「趋近型」状态全部改成半隐式的一阶惯性逼近，直接用解析解推进：

这个式子等价于用隐式欧拉解 dv/dt = (v∞ − v) / τ，无条件稳定：不管 τ 多小、Δt 多大，结果一定落在旧值与目标值之间，不会越界，不会振荡，更不会发散。τ 趋于零时它自动退化为「瞬间到达目标」，这在物理上是对的——一个无限快的响应本来就该这样。

代价是精度。它只有一阶，RK4 是四阶。但这里的精度损失落在了一个观测不到的地方：模型是目标驱动的，稳态由目标值决定，不由积分误差决定。换句话说，RK4 多算出来的那几位有效数字，描述的是一个我们本来就不打算模拟的瞬态。

为什么还留着导数

导数函数没有删。它现在是模型文档的一部分：读一遍导数，就知道每个状态受什么影响、被哪些病理和药物推动。它也是扩展接口——真要加一个非趋近型的量，比如某种需要守恒的积分，从那里接出去比在指数逼近里硬塞要干净。

但主循环不再调用它。实时系统里，一条不执行的路径如果还被当成主路径，它迟早会被改坏而没人发现——这正是上一篇说的静默失败：代码还在，语义已经没了。

在实时系统里，选积分器不是在选精度，是在选一种失败模式。 数值笔记 / 2026

步长与快进是两件事

10 毫秒是实时播放的步长，不是唯一的步长。要「过一天」的时候，86400 秒除以 10 毫秒是八百多万步，直接跑不现实。但快进不能简单把步长乘大：指数逼近虽然稳定，当 τ 小于步长时它会把「趋近」抹成「瞬间到达」，读数看着正常，动态全丢了。

所以快进有单独的标定脚本：用不同步长跑到同一个终点，比对关键读数，确定每个尺度下最多能放大到多少。这是一次性的工作，但它决定了快进按钮到底是在加速，还是在撒谎。

还是加了一张网

即使换了无条件稳定的积分器，我还是加了一道网：每一步扫描全部状态量，非有限值就回退到基线并计数。医学模拟器不能输出 NaN——不是因为它不好看，而是因为界面上一条 NaN 曲线和一条正常曲线看起来一样安静，而所有基于它的判定都会静默失效。

这张网从来没触发过。留着它的理由和买保险一样：它存在的价值不是被用到，而是让「用不到」这件事可以被相信。

所以结论是什么

如果状态是自由演化的、时间尺度彼此接近、而且允许离线慢慢算，RK4 是更好的选择，这一点没有争议。但如果状态大多是「趋近目标」、时间常数跨几个数量级、而且必须每一帧都给出有界的数，那么一个无条件稳定的一阶方法反而是正确的那一个。

复杂度不是先进程度。匹配才是。